Задача 7. Диагонали. В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

По условию точка O — середина обеих диагоналей AC и BD. Докажем, что противоположные стороны параллельны.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. AO = OC и BO = OD по условию, а ∠AOB = ∠COD как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠CDO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, поэтому AB ∥ CD.
3. Рассмотрим треугольники AOD и COB. AO = OC и OD = OB по условию, а ∠AOD = ∠COB как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Следовательно, ∠ADO = ∠CBO. Это накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей BD, поэтому AD ∥ BC.

Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.