Задача 8. Противоположные стороны. В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA.

1. AB = CD и BC = AD по условию, AC — общая сторона. Значит, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DCA. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC, поэтому AB ∥ CD.
3. Также ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, поэтому BC ∥ AD.

Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.