Задача 7. На острове живут 10 человек — рыцари и лжецы. Среди них есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», …, 10-й: «Число лжецов среди нас делится на 10». Сколько среди них может быть рыцарей?

Пусть лжецов \(L\), тогда рыцарей \(10-L\). По условию \(1\leq L\leq 9\).

Утверждения правдивы ровно у тех людей, чьи числа делят \(L\). Поэтому число рыцарей должно равняться количеству чисел от 1 до 10, на которые делится \(L\).

Проверим возможные значения \(L\). Для \(L=1,2,3,4,5,6,7,8,9\) количества таких делителей соответственно равны \(1,2,2,3,2,4,2,4,2\). А количество рыцарей \(10-L\) соответственно равно \(9,8,7,6,5,4,3,2,1\). Равенство выполняется только при \(L=6\): число 6 делится на 1, 2, 3 и 6, то есть истинны ровно четыре утверждения.

Ответ: 4 рыцаря.