Задача 7: В трапеции ABCD известно, что AB=CD, \(\angle BDA = 18^\circ\) и \(\angle BDC = 97^\circ\). Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Так как AB = CD, трапеция ABCD равнобедренная. 2. \(\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ\). 3. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно, \(\angle BCD = \angle ADC = 115^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник BDC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. \(\angle DBC = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCD = 180^\circ - 97^\circ - 115^\circ\). Но это ошибка! Углы BCD и BDC не входят в один треугольник, значит, я неправильно рассуждаю. 5. Заметим, что \(\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ\) (сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции). 6. Тогда \(\angle BAD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\). 7. Проведем диагональ AC. Треугольники ABD и DCA равны, так как AB=CD, AD - общая, а \(\angle BAD = \angle CDA = 65^\circ\). Значит, \(\angle ABD = \angle DCA\). 8. Поскольку треугольники ABD и DCA равны, то BD = AC. В равнобедренной трапеции диагонали равны. \(\angle DAC = \angle BDA = 18^\circ\). 9. \(\angle BAC = \angle BAD - \angle DAC = 65^\circ - 18^\circ = 47^\circ\). 10. Треугольник ABC равнобедренный, т.к. AB=CD, а трапеция равнобедренная, значит, углы при основании равны. \(\angle ABC = \angle BCD = 115^\circ\). 11. \(\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC\). А также \(\angle DBC = \angle ACB \). \(\angle ACB = \angle BAC = 47^\circ\) (треугольник ABC - равнобедренный). 12. \(\angle ABD = \angle ABC - \angle ACB = 115^\circ - 47^\circ = 68^\circ\). Ответ: \(\angle ABD = 68^\circ\)