Задача 8: Найдите значение выражения \(\sqrt{8-2\sqrt{7}} + \sqrt{32-10\sqrt{7}}\). В ответ запишите число, обратное полученному.

Решение: 1. Преобразуем подкоренные выражения, чтобы представить их в виде полных квадратов. Заметим, что \(8 - 2\sqrt{7} = (\sqrt{7} - 1)^2\) и \(32 - 10\sqrt{7} = (5 - \sqrt{7})^2\). 2. Тогда выражение примет вид: \(\sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{7})^2}\) 3. Извлекаем квадратные корни, учитывая, что \(\sqrt{7} \approx 2.65\). Таким образом, \(\sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = |\sqrt{7} - 1| = \sqrt{7} - 1\) \(\sqrt{(5 - \sqrt{7})^2} = |5 - \sqrt{7}| = 5 - \sqrt{7}\) 4. Суммируем полученные значения: \((\sqrt{7} - 1) + (5 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1 + 5 - \sqrt{7} = 4\) 5. В условии требуется записать число, обратное полученному. То есть нужно найти число, обратное 4. 6. Число, обратное 4, равно \(\frac{1}{4}\). Ответ: \(\frac{1}{4}\) Развернутый ответ для школьника: Привет! Давай разберем эту задачу вместе. Нам нужно упростить выражение с корнями и потом найти число, которое при умножении на полученный результат даст 1. Сначала смотрим на выражение \(\sqrt{8-2\sqrt{7}} + \sqrt{32-10\sqrt{7}}\). Видим, что под корнями какие-то странные числа. Наша задача - попробовать представить эти числа в виде квадратов, чтобы корни легко извлекались. Вспоминаем формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Если мы представим \(8 - 2\sqrt{7}\) как \((\sqrt{7} - 1)^2\), то при раскрытии скобок получим: \((\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = 8 - 2\sqrt{7}\). Аналогично для \(32 - 10\sqrt{7}\) можно догадаться, что это \((5 - \sqrt{7})^2\), и при раскрытии скобок получим: \(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 25 - 10\sqrt{7} + 7 = 32 - 10\sqrt{7}\). Теперь наше выражение выглядит так: \(\sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{7})^2}\). Квадрат и корень взаимно уничтожаются, и у нас остается \((\sqrt{7} - 1) + (5 - \sqrt{7})\). Упрощаем это выражение, и получаем \(4\). Но это еще не все! Нам нужно найти число, обратное 4. Это значит, что если мы умножим 4 на это число, то получим 1. Такое число - это \(\frac{1}{4}\), потому что \(4 \cdot \frac{1}{4} = 1\). Так что ответ - \(\frac{1}{4}\). Удачи!