Задача 8. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC AB = BC = CD. Найдите среднюю линию трапеции, если AD = 18 и ∠D = 60°.

Обозначим общую длину \(AB=BC=CD\) через \(x\). Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры на AD. Из-за равнобедренности горизонтальные выступы у концов равны.

Угол при D равен \(60^\circ\), поэтому горизонтальная проекция боковой стороны CD на основание равна \(x\cos 60^\circ=\frac{x}{2}\). Такой же выступ есть у второго конца, значит \(AD-BC=2\cdot\frac{x}{2}=x\).

Так как \(BC=x\), получаем \(AD=2x\). Следовательно, \(18=2x\), откуда \(x=9\) и \(BC=9\).

Средняя линия равна полусумме оснований: \(m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{18+9}{2}=13.5\).

Ответ: 13,5.