Задача 9. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 61° и BM = AM = MC.

Так как BM — медиана, точка M лежит на AC, и луч CM совпадает с лучом CA. Поэтому ∠BCM = ∠C = 61°.

В треугольнике BMC BM = MC, поэтому углы при основании равны: ∠MBC = ∠BCM = 61°. Тогда ∠BMC = 180° − 61° − 61° = 58°.

Точки A, M и C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° − ∠BMC = 122°.

В треугольнике ABM AM = BM, значит, углы при основании равны: ∠A = ∠ABM = (180° − 122°) : 2 = 29°.

Ответ: 29°.