Задача 3. Дано: АВСDA₁B₁C₁D₁ параллелепипед; (рис. 11). $$\frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}, \frac{BC}{BB_1} = \frac{5}{6}$$, $$(AB + BC + BB_1) \cdot 4 = 120 \text{ см}$$ Найти: АB, BC, BB₁.

Прежде всего, выразим сумму AB, BC и BB₁:

$$ (AB + BC + BB_1) \cdot 4 = 120 $$ $$ AB + BC + BB_1 = \frac{120}{4} = 30 \text{ см} $$

Выразим AB и BB₁ через BC:

$$ AB = \frac{4}{5}BC $$ $$ BB_1 = \frac{6}{5}BC $$

Подставим в выражение для суммы:

$$ \frac{4}{5}BC + BC + \frac{6}{5}BC = 30 $$ $$ \frac{4BC + 5BC + 6BC}{5} = 30 $$ $$ \frac{15BC}{5} = 30 $$ $$ 3BC = 30 $$ $$ BC = \frac{30}{3} = 10 \text{ см} $$

Теперь найдем AB и BB₁:

$$ AB = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8 \text{ см} $$ $$ BB_1 = \frac{6}{5} \cdot 10 = 12 \text{ см} $$

Ответ: AB = 8 см, BC = 10 см, BB₁ = 12 см.