Задача для II уровня. Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно диагонали, пересекает большую сторону прямоугольника под углом 60°. Отрезок этой прямой, заключённый внутри прямоугольника, равен 10. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим прямоугольник как на рис. 205: диагонали пересекаются в центре O, а прямая пересекает стороны в точках M и N. Диагональ перпендикулярна MN, а угол между MN и большей стороной равен 60°.

1. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = DO. Углы ∠MBO и ∠NDO равны 30°: они дополняют угол 60° до 90°. Следовательно, прямоугольные треугольники BMO и DNO равны по катету и острому углу, значит OM = ON.

2. Так как M, O и N лежат на одной прямой, MN = OM + ON = 10 см. Поэтому OM = ON = 5 см.

3. Треугольник BOM прямоугольный, причём ∠BMO = 60°. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы; отсюда BM = 2·OM = 10 см.

4. Аналогично, треугольник DOM прямоугольный, и по равенству катетов BM = DM = 10 см. Большая сторона прямоугольника состоит из двух отрезков длиной 10 см, поэтому её длина равна 20 см.

Ответ: 20 см.