Задача. Из М проведен перпендикуляр к плоскости прямоугольника АВСД. Найдите расстояние от точки М до сторон прямоугольника АВСД, если АВ = 8 см, ВС = 6 см, ОМ = 6 см (рис. 6).

1) Рассмотрим прямоугольник ABCD. Так как AB = 8 см, BC = 6 см, то AC = BD по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$

$$AC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Тогда AO = OC = BO = OD = AC/2 = 10/2 = 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора:

$$AM^2 = AO^2 + OM^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$$

$$AM = \sqrt{61}$$

Аналогично BM = CM = DM = $$\sqrt{61}$$.

2) Чтобы найти расстояние от точки M до стороны AB, необходимо провести перпендикуляр из точки M на сторону AB. Обозначим основание перпендикуляра точкой K. Тогда OK - проекция MK, а значит OK перпендикулярна AB. Тогда AK = OB = 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Тогда:

$$AK^2 + BK^2 = AB^2$$

      A
     /\
    /  \
   /    \
  K------B

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник MKA:

$$MK^2 = AM^2 - AK^2 = 61 - 5^2 = 61 - 25 = 36$$

$$MK = \sqrt{36} = 6$$

Расстояние от точки M до стороны AB равно 6 см.

4) Чтобы найти расстояние от точки M до стороны BC, необходимо провести перпендикуляр из точки M на сторону BC. Обозначим основание перпендикуляра точкой L.

$$ML = 6 \text{ см}$$

5) Чтобы найти расстояние от точки M до стороны CD, необходимо провести перпендикуляр из точки M на сторону CD.

$$MD = 6 \text{ см}$$

6) Чтобы найти расстояние от точки M до стороны AD, необходимо провести перпендикуляр из точки M на сторону AD.

$$MA = 6 \text{ см}$$

Ответ: 6 см