* Задача 1. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD=25. В ответ запишите длину АВ деленную на √3.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться свойствами трапеции и тригонометрическими функциями.

1. Проведем высоту CE из вершины C к стороне AD. Получим прямоугольный треугольник ΔСЕD, где угол ∠CDE = 180° - 120° = 60°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔСЕD. В нем CD = 25, ∠CDE = 60°. Найдем CE, используя синус:

$$ sin(60°) = \frac{CE}{CD} $$ $$ CE = CD \cdot sin(60°) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2} $$

3. Теперь проведем высоту BF из вершины B к стороне AD. Так как ∠ABC = 30°, рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABF. В этом треугольнике высота BF = CE.

4. Найдем AB, используя синус:

$$ sin(30°) = \frac{BF}{AB} $$ $$ AB = \frac{BF}{sin(30°)} = \frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 25\sqrt{3} $$

5. В ответе нужно записать длину AB, деленную на √3:

$$ \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 $$

Ответ: 25