* Задача 3. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла в прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если BH=13.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника, окружности и подобия треугольников.

1. Так как BH - высота, проведенная из вершины прямого угла B, то ΔABH и ΔCBH являются прямоугольными треугольниками.

2. Окружность с диаметром BH проходит через точки P и K, лежащие на сторонах AB и BC соответственно. Это означает, что ∠BPH и ∠BKH - прямые углы, так как опираются на диаметр.

3. Рассмотрим четырехугольник BРНК. ∠BPK + ∠BKC = 180°, значит вокруг него можно описать окружность. ∠B = 90°, значит PK является диаметром этой окружности, то есть PK = BH.

4. Таким образом, PK = BH = 13.

Ответ: 13