Задача 4 Про геометрическую прогрессию (6%) известно, что 6 = 54, q = 3, S = 80. Найди 12.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^n-1

Выразим b₁: b₁ = b_n / q^n-1 = 54 / 3^n-1

Воспользуемся формулой суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b₁ * (qⁿ - 1)) / (q - 1)

Подставим известные значения и выразим через n:

80 = ( (54 / 3^n-1) * (3ⁿ - 1) ) / (3 - 1)

80 = ( (54 / 3^n-1) * (3ⁿ - 1) ) / 2

Умножим обе части на 2:

160 = (54 / 3^n-1) * (3ⁿ - 1)

160 = 54 * (3ⁿ - 1) / 3^n-1

Заменим 3ⁿ на x. Тогда 3^n-1 = x / 3

160 = 54 * (x - 1) / (x / 3)

160 = 54 * 3 * (x - 1) / x

160 = 162 * (x - 1) / x

160x = 162x - 162

2x = 162

x = 81

3ⁿ = 81

3ⁿ = 3⁴

n = 4