Задача 6 Сумма первых трех членов геометрической прогрессии (6%) равна 168, а сумма следующих трех членов равна 21. Найди сумму первых пяти членов данной прогрессии.

Запишем сумму первых трех членов: S₃ = b₁ + b₂ + b₃ = b₁ + b₁q + b₁q² = 168

Запишем сумму следующих трех членов: S'₃ = b₄ + b₅ + b₆ = b₁q³ + b₁q⁴ + b₁q⁵ = 21

Выразим S'₃ через S₃: S'₃ = q³(b₁ + b₁q + b₁q²) = q³ * S₃ = 21

Подставим S₃ = 168: q³ * 168 = 21

Найдем q³: q³ = 21 / 168 = 1 / 8

q = 1 / 2

Подставим q в S₃: b₁ + b₁(1/2) + b₁(1/2)² = 168

b₁ + b₁/2 + b₁/4 = 168

(4b₁ + 2b₁ + b₁) / 4 = 168

7b₁ / 4 = 168

b₁ = (168 * 4) / 7 = 24 * 4 = 96

Теперь найдем сумму первых пяти членов: S₅ = b₁ * (1 - q⁵) / (1 - q)

S₅ = 96 * (1 - (1/2)⁵) / (1 - 1/2)

S₅ = 96 * (1 - 1/32) / (1/2)

S₅ = 96 * (31/32) / (1/2)

S₅ = 96 * (31/32) * 2

S₅ = 3 * 31 * 2 = 6 * 31 = 186