Задача 5 Про геометрическую прогрессию (6) известно, что вз = 18, b5 162. Найди первый член данной геометрической прогрессии и количество членов, сумма которых равна 80.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^n-1

Выразим b₃ и b₅:

b₃ = b₁ * q² = 18

b₅ = b₁ * q⁴ = 162

Разделим b₅ на b₃:

b₅ / b₃ = (b₁ * q⁴) / (b₁ * q²) = 162 / 18

q² = 9

q = 3 или q = -3

Найдем b₁ для каждого значения q:

Если q = 3: b₁ = 18 / 3² = 18 / 9 = 2

Если q = -3: b₁ = 18 / (-3)² = 18 / 9 = 2

Теперь используем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b₁ * (qⁿ - 1)) / (q - 1)

Подставим известные значения для q = 3 и b₁ = 2:

80 = (2 * (3ⁿ - 1)) / (3 - 1)

80 = (2 * (3ⁿ - 1)) / 2

80 = 3ⁿ - 1

3ⁿ = 81

3ⁿ = 3⁴

n = 4

Подставим известные значения для q = -3 и b₁ = 2:

80 = (2 * ((-3)ⁿ - 1)) / (-3 - 1)

80 = (2 * ((-3)ⁿ - 1)) / -4

80 = ((-3)ⁿ - 1) / -2

-160 = (-3)ⁿ - 1

(-3)ⁿ = -159

Решений нет, так как (-3)ⁿ всегда положительное число, если n - четное, и отрицательное, если n - нечетное.