Задача 5 Пусть N это произведение 20 сомножителей 1!·2!·3!·...·20!, где n! = 1·2·3·...·n – произведение целых чисел от 1 до n. На какое наименьшее натуральное число нужно домножить N, чтобы получился полный квадрат? Варианты ответа: A) 7 Б) 14 B) 21 Г) 70

Решение:

Заметим, что N = 1! * 2! * 3! * ... * 20! = 1^20 * 2^19 * 3^18 * ... * 19^2 * 20^1. Чтобы N стало полным квадратом, каждый сомножитель должен быть в четной степени.

Тогда нужно домножить на:

2^1 * 3^0 * 4^1 * 5^0 * 6^1 * 7^0 * 8^1 * 9^0 * 10^1 * 11^0 * 12^1 * 13^0 * 14^1 * 15^0 * 16^1 * 17^0 * 18^1 * 19^0 * 20^1 = 2 * 4 * 6 * 8 * 10 * 12 * 14 * 16 * 18 * 20 = (2 * 4 * 6 * 8 * 10) * (12 * 14 * 16 * 18 * 20) = (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5) * (2 * 6 * 2 * 7 * 2 * 8 * 2 * 9 * 2 * 10) = 2^15 * 1 * 3 * 1 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10

Чтобы упростить выражение, сгруппируем числа таким образом:

2^1 * 4^1 * 6^1 * 8^1 * 10^1 * 12^1 * 14^1 * 16^1 * 18^1 * 20^1 = 2^1 * (2^2)^1 * (2*3)^1 * (2^3)^1 * (2*5)^1 * (2^2 * 3)^1 * (2*7)^1 * (2^4)^1 * (2 * 3^2)^1 * (2^2 * 5)^1 = 2^1 * 2^2 * 2*3 * 2^3 * 2*5 * 2^2 * 3 * 2*7 * 2^4 * 2 * 3^2 * 2^2 * 5 = 2^16 * 3^5 * 5^2 * 7

Это нужно домножить на 3 * 7 = 21, чтобы получить полные квадраты.

Ответ: B) 21