Задача 5 В вазе лежат конфеты - шоколадные, мятные и апельсиновые. Если вытащить наугад любые 12 конфет, среди них обязательно будет одна апельсиновая, если вытащить наугад любые 9 - среди них обязательно будет мятная, а если вытащить любые 10 - обязательно будет шоколадная. Какое наибольшее число конфет могло быть в вазе?

Пусть количество шоколадных конфет равно Ш, мятных - М, а апельсиновых - А.

Из условия следует:

Если вытащить 12 конфет, то обязательно будет 1 апельсиновая. Это означает, что шоколадных и мятных конфет вместе не больше 11: Ш + М ≤ 11.

Если вытащить 9 конфет, то обязательно будет 1 мятная. Это означает, что шоколадных и апельсиновых конфет вместе не больше 8: Ш + А ≤ 8.

Если вытащить 10 конфет, то обязательно будет 1 шоколадная. Это означает, что мятных и апельсиновых конфет вместе не больше 9: М + А ≤ 9.

Сложим все три неравенства:

(Ш + М) + (Ш + А) + (М + А) ≤ 11 + 8 + 9

2Ш + 2М + 2А ≤ 28

2(Ш + М + А) ≤ 28

Ш + М + А ≤ 14

Значит, наибольшее число конфет в вазе не может быть больше 14.

Чтобы доказать, что 14 возможно, рассмотрим пример: Ш = 3, М = 8, А = 3. Тогда:

Ш + М = 3 + 8 = 11 ≤ 11

Ш + А = 3 + 3 = 6 ≤ 8

М + А = 8 + 3 = 11 > 9 (не подходит)

Рассмотрим другой пример: Ш = 3, М = 6, А = 5. Тогда:

Ш + М = 3 + 6 = 9 ≤ 11

Ш + А = 3 + 5 = 8 ≤ 8

М + А = 6 + 5 = 11 > 9 (не подходит)

Рассмотрим другой пример: Ш = 3, М = 7, А = 4. Тогда:

Ш + М = 3 + 7 = 10 ≤ 11

Ш + А = 3 + 4 = 7 ≤ 8

М + А = 7 + 4 = 11 > 9 (не подходит)

Так же, можно представить в виде системы неравенств

m+a <=9

sh+a <=8

sh+m<=11

Сложим все неравенства: 2sh+2a+2m<=28

sh+a+m<=14

Чтобы узнать сколько max конфет в вазе, нужно решить уравнение:

m=9-a

sh=8-a

Подставим в третье уравнение:

8-a+9-a<=11

17-2a<=11

6<=2a

a>=3

max кол-во конфет в вазе = 14

Пример: a=3, m=6, sh=5

Ответ: Б) 14