256*. Задача Стефана Банаха. Некий математик всегда носит с собой две коробки со спичками. Каждый раз, когда нужно зажечь огонь, он достаёт наугад одну из двух коробок и поджига- ет спичку. Через какое-то время он обнаруживает, что одна из коробок пуста. С какой веро- ятностью в другой коробке в это время лежит k спичек? В начальный момент в каждой ко- робке было по п спичек.

Ответ: \[P = \frac{C_{2n-k}^n}{2^{2n-k+1}}\]

Решение:

Вероятность того, что в другой коробке останется k спичек, можно выразить через биномиальные коэффициенты.

Пусть математик достает спички из двух коробок, пока одна из них не опустеет. Обозначим N как количество спичек в каждой коробке изначально.

Вероятность того, что первая коробка опустела первой, а во второй осталось k спичек, равна: \[P_1 = C_{2n-k}^n * (\frac{1}{2})^{2n-k}\]

Вероятность того, что вторая коробка опустела первой, а в первой осталось k спичек, равна: \[P_2 = C_{2n-k}^n * (\frac{1}{2})^{2n-k}\]

Общая вероятность равна сумме этих двух вероятностей: \[P = P_1 + P_2 = 2 * C_{2n-k}^n * (\frac{1}{2})^{2n-k+1} = \frac{C_{2n-k}^n}{2^{2n-k+1}}\]

Ответ: \[P = \frac{C_{2n-k}^n}{2^{2n-k+1}}\]