588. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1. 1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что $$\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$$. 2) Полагая, что $$n – 1 = 8k$$ и $$m – 1 = 23k$$, где $$k ∈ N$$, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления. 3) Объясните, почему значение k = 1 приводит к противоречию с условием задачи.

1) Выразим числа 20 и 35 через d, n и m, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$.

• Для числа 20: $$20 = 12 + (n-1)d$$ $$\Rightarrow (n-1)d = 8$$
• Для числа 35: $$35 = 12 + (m-1)d$$ $$\Rightarrow (m-1)d = 23$$

Разделим первое уравнение на второе: $$\frac{(n-1)d}{(m-1)d} = \frac{8}{23}$$

Сократим d: $$\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$$

2) Выразим m и n через k, используя заданные соотношения: $$n - 1 = 8k$$ и $$m - 1 = 23k$$.

• $$n = 8k + 1$$
• $$m = 23k + 1$$

Подставим выражения для n и m в уравнения: $$ (n-1)d = 8 \Rightarrow (8k)d = 8 \Rightarrow d = \frac{1}{k} $$

$$ (m-1)d = 23 \Rightarrow (23k)d = 23 \Rightarrow d = \frac{1}{k} $$

Чтобы d не равнялось 1, необходимо выбрать k > 1. Например, пусть k = 2. Тогда:

• $$n = 8(2) + 1 = 17$$
• $$m = 23(2) + 1 = 47$$
• $$d = \frac{1}{2} = 0.5$$

Арифметическая прогрессия: 12, 12.5, 13, ..., 20, ..., 35

3) Если k = 1, то:

• $$n = 8(1) + 1 = 9$$
• $$m = 23(1) + 1 = 24$$
• $$d = \frac{1}{1} = 1$$

Это противоречит условию задачи, так как требуется, чтобы разность d не равнялась 1.

Ответ: 1) $$\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$$ доказано; 2) n = 8k + 1, m = 23k + 1, k > 1; 3) k = 1 приводит к d = 1, что противоречит условию.