Задана арифметическая прогрессия. Найдите первый член прогрессии, если сумма второго и восьмого члена прогрессии равна 10, а сумма третьего и четырнадцатого членов прогрессии равна 31.

Решение:

Пусть \( a_1 \) — первый член арифметической прогрессии, \( d \) — разность прогрессии.

По условию задачи имеем:

1. \( a_2 + a_8 = 10 \)
2. \( a_3 + a_{14} = 31 \)

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Запишем уравнения через \( a_1 \) и \( d \):

1. \( (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 10 \)



\[ 2a_1 + 8d = 10 \]




\[ a_1 + 4d = 5 \) (1)

2. \( (a_1 + 2d) + (a_1 + 13d) = 31 \)



\[ 2a_1 + 15d = 31 \) (2)

Теперь решим систему из двух уравнений:

\[ \begin{cases} a_1 + 4d = 5 \\ 2a_1 + 15d = 31 \end{cases} \]

Из уравнения (1) выразим \( a_1 \): \( a_1 = 5 - 4d \).

Подставим это выражение во уравнение (2):

\[ 2(5 - 4d) + 15d = 31 \]

\[ 10 - 8d + 15d = 31 \]

\[ 7d = 31 - 10 \]

\[ 7d = 21 \]

\[ d = 3 \]

Теперь найдём \( a_1 \) из уравнения (1):

\[ a_1 = 5 - 4d = 5 - 4 \cdot 3 = 5 - 12 = -7 \]

Ответ: -7.