Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства прямоугольной трапеции и известные данные.
1. Обозначения:
* `NK` – меньшее основание трапеции.
* `MP` – большее основание трапеции.
* `KH` – высота трапеции.
* `S` – площадь трапеции.
2. Из условия `∠HKP = 45°` и `KH = NK` следует, что треугольник `KHP` – равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, `HP = KH = NK`.
3. Пусть `NK = x`. Тогда `HP = x`, и `MP = MH + HP = MH + x`. Так как `MNKP` – прямоугольная трапеция, то `MH = NK = x`, следовательно, `MP = x + x = 2x`.
4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{NK + MP}{2} \cdot KH$$
5. Подставим известные значения: $$54 = \frac{x + 2x}{2} \cdot x$$ $$54 = \frac{3x}{2} \cdot x$$ $$108 = 3x^2$$ $$x^2 = 36$$ $$x = 6$$
6. Теперь найдем длину большего основания `MP`: $$MP = 2x = 2 \cdot 6 = 12$$.
Ответ: Длина большего основания трапеции равна 12 см.