Задание 5. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность, радиус которой равен 10√3 см. Найдите: а) площадь треугольника АВС (12 баллов); б) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС (10 баллов); в) длину большей дуги АС окружности, описанной около треугольника АВС (15 баллов).

a) Площадь треугольника ABC:

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Радиус описанной окружности (R) связан со стороной треугольника (a) формулой:

$$R = \frac{a}{ \sqrt{3} }$$

Выразим сторону (a) через радиус (R = 10\sqrt{3}):

$$a = R \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30 \text{ см}$$

Теперь можно найти площадь равностороннего треугольника по формуле:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{30^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{900 \sqrt{3}}{4} = 225\sqrt{3} \text{ см}^2$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна (225\sqrt{3}) см².

б) Радиус вписанной окружности:

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности (r) равен половине радиуса описанной окружности (R):

$$r = \frac{R}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$$ Ответ: Радиус вписанной окружности равен (5\sqrt{3}) см.

в) Длина большей дуги AC:

Центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен 360° - 60° = 300°, так как угол ABC равен 60°, а полный круг составляет 360°. Длина окружности равна:

$$C = 2\pi R = 2 \pi (10\sqrt{3}) = 20\pi \sqrt{3}$$

Длина дуги пропорциональна центральному углу, поэтому длина большей дуги AC:

$$l = \frac{300}{360} \cdot 20\pi \sqrt{3} = \frac{5}{6} \cdot 20\pi \sqrt{3} = \frac{100\pi \sqrt{3}}{6} = \frac{50\pi \sqrt{3}}{3} \text{ см}$$ Ответ: Длина большей дуги AC равна (\frac{50\pi \sqrt{3}}{3}) см.