Задание 4 (16 баллов). Дана прямоугольная трапеция МПКР с основаниями NK и МР. Площадь этой трапеции равна 54 см². Из вершины К на основание МP опущена высота КН. Известно, что ∠ΗΚP = 45°, КН = NK. Найдите длину большего основания трапеции.

Решение:

Пусть NK = x. Тогда KH = x, и так как ∠HKP = 45°, то HP = KH = x. Следовательно, MP = MH + HP = NK + HP = x + x = 2x.

Площадь трапеции находится по формуле:

$$S = \frac{NK + MP}{2} \cdot KH$$

Подставляем известные значения:

$$54 = \frac{x + 2x}{2} \cdot x$$ $$54 = \frac{3x}{2} \cdot x$$ $$54 = \frac{3x^2}{2}$$

Решаем уравнение:

$$3x^2 = 108$$ $$x^2 = 36$$ $$x = 6$$ (так как длина не может быть отрицательной)

Следовательно, NK = 6 см, MP = 2 * 6 = 12 см.

Большее основание трапеции – MP.

Ответ: 12 см