Задание 3 (25 баллов). Решите систему уравнений методом замены переменной. (x²y² - 5xy = -6 (x + y = 3

Решим систему уравнений методом замены переменной.

1. Введем замену $$t = xy$$. Тогда первое уравнение примет вид: $$t^2 - 5t = -6$$.
2. Перенесем все члены в левую часть: $$t^2 - 5t + 6 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{5 ± \sqrt{25 - 4 \cdot 6}}{2} = \frac{5 ± 1}{2}$$.
4. $$t_1 = 3, t_2 = 2$$.
5. Рассмотрим случай $$t = 3$$. Тогда $$xy = 3$$. Из второго уравнения $$y = 3 - x$$. Подставим в первое уравнение: $$x(3 - x) = 3$$, $$3x - x^2 = 3$$, $$x^2 - 3x + 3 = 0$$.
6. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{3 ± \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{3 ± \sqrt{-3}}{2}$$. Корней нет, так как дискриминант отрицательный.
7. Рассмотрим случай $$t = 2$$. Тогда $$xy = 2$$. Из второго уравнения $$y = 3 - x$$. Подставим в первое уравнение: $$x(3 - x) = 2$$, $$3x - x^2 = 2$$, $$x^2 - 3x + 2 = 0$$.
8. Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{3 ± \sqrt{9 - 4 \cdot 2}}{2} = \frac{3 ± 1}{2}$$.
9. $$x_1 = 2, x_2 = 1$$.
10. Найдем соответствующие значения y: Если $$x = 2$$, то $$y = 3 - 2 = 1$$. Если $$x = 1$$, то $$y = 3 - 1 = 2$$.

Решения системы уравнений:

• $$x = 2, y = 1$$.
• $$x = 1, y = 2$$.

Ответ: (2; 1), (1; 2)