Задание 3 (25 баллов). Решите систему уравнений методом замены переменной. (x²y2-5xy = -6 lx + y = 3

Ответ: \(\begin{cases}x_1 = 1\\ y_1 = 2\\x_2 = 2\\y_2 = 1\end{cases}\)

1. Запишем систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2y^2 - 5xy = -6 \\ x + y = 3 \end{cases}\]

2. Введем замену переменной:

\[t = xy\] \[x+y=3 \Rightarrow y = 3-x\] \[t = x(3-x)\] \[t = 3x - x^2\]

3. Подставим замену в первое уравнение:

\[t^2 - 5t = -6\] \[t^2 - 5t + 6 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение относительно t:

\[t^2 - 5t + 6 = 0\] \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\] \[t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

5. Теперь у нас есть два значения для t:

\[t_1 = xy = 3\] \[t_2 = xy = 2\] \[\begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}\] \[\begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}\]

6. Для \(xy=3\):

\[\begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}\] \[x(3-x) = 3\] \[3x - x^2 = 3\] \[x^2 - 3x + 3 = 0\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \lt 0 \Rightarrow \text{Нет решений}\]

7. Для \(xy=2\):

\[\begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}\] \[x(3-x) = 2\] \[3x - x^2 = 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] \[(x-1)(x-2) = 0\] \[x_1 = 1, \quad x_2 = 2\]

8. Найдем y для каждого значения x:

\[x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = 3 - 1 = 2\] \[x_2 = 2 \Rightarrow y_2 = 3 - 2 = 1\]

9. Финальное решение:

\[\begin{cases} x_1 = 1 \\ y_1 = 2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x_2 = 2 \\ y_2 = 1 \end{cases}\]

Ответ: \(\begin{cases}x_1 = 1\\ y_1 = 2\\x_2 = 2\\y_2 = 1\end{cases}\)