Задание 7. \(\angle AOB = 90^\circ\), CB – диаметр. Докажите, что AC = AB.

Дано: \(\angle AOB = 90^\circ\), CB - диаметр окружности с центром O. Доказать: AC = AB. Доказательство: 1. Т.к. CB - диаметр, то \(\angle CAB\) - вписанный угол, опирающийся на диаметр, а значит, \(\angle CAB = 90^\circ\). 2. Рассмотрим треугольник AOB. Т.к. \(\angle AOB = 90^\circ\), то треугольник AOB - прямоугольный и равнобедренный, потому что OA = OB (как радиусы одной окружности). Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что \(\angle CAB = 90^\circ\), а \(\angle OBA = 45^\circ\), следовательно, \(\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). 4. Таким образом, в треугольнике ABC, \(\angle ACB = \angle CBA = 45^\circ\). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AC = AB. Что и требовалось доказать.