Задание 22. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 15.

Пусть $$V$$ - объем исходного конуса, а $$V_1$$ - объем отсекаемого конуса. Из условия $$V_1 = 15$$. Так как плоскость параллельна основанию, то отсекаемый конус подобен исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот. Высота отсекаемого конуса составляет $$\frac{1}{4}$$ высоты исходного конуса. Следовательно, коэффициент подобия $$k = \frac{1}{4}$$. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $$\frac{V_1}{V} = k^3$$. $$\frac{15}{V} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$$. $$V = 15 \cdot 64 = 960$$. Ответ: 960.