Задание 20. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10, а высота пирамиды равна $$5\sqrt{3}$$. Найдите объём этой пирамиды.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$. В нашем случае $$a = 10$$, поэтому: $$S_{осн} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$$. Высота пирамиды $$h = 5\sqrt{3}$$. Тогда объём пирамиды равен: $$V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 5 \cdot 3 = 25 \cdot 5 = 125$$. Ответ: 125.