Задание 8. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен 128°, а угол $CAD$ равен 80°. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Раз четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно: $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$ Угол $ADC$ состоит из углов $ADB$ и $CDB$, то есть: $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$ Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, следовательно, они равны: $\angle CBD = \angle CAD = 80^\circ$ Угол $CDB$ и угол $CBD$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, следовательно, они равны: $\angle CDB = \angle CAD = 80^\circ$ Тогда, $\angle ADB = \angle ADC - \angle CDB = 52^\circ - \angle CDB$ $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$, и $\angle CBD$ тоже опирается на дугу $CD$, следовательно, $\angle CBD = \angle CAD = 80^\circ$. Угол $ACB$ опирается на дугу $AB$ , $\angle ADB$ тоже опирается на дугу $AB$, значит $\angle ACB = \angle ADB$. $\angle ABD = 180^\circ - \angle ADB - \angle BAD$ , найдем $\angle ABD$ $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + 80^\circ$ $\angle BAC = \angle BCA$ т.к. опираются на одну дугу. $\angle BCD = 180 - \angle BAD$ (По свойству четырехугольника) $\angle ABD = \angle ACD$ (Опираются на одну дугу) Так как $\angle CDB = \angle CAB = 80^\circ$ , то $\angle ADB = 52^\circ - 80^\circ = -28^\circ$ В условии ошибка, такого не может быть, $\angle CAD$ должен быть меньше $\angle ADC$, а если $\angle ADC = 52^\circ$, то $\angle CAD < 52^\circ$ Ответ: нет решения, в условии ошибка.