ЗАДАНИЕ №9: Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 3\). Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AC}\).

В квадрате \(ABCD\) сторона \(AB = 3\). Нужно найти скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AC}\). Вектор \(\vec{BC}\) имеет длину, равную стороне квадрата, то есть 3. Вектор \(\vec{AC}\) является диагональю квадрата. Длина диагонали квадрата равна \(сторона \times \sqrt{2}\). Таким образом, \(|\vec{AC}| = 3\sqrt{2}\). Угол между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{AC}\) равен 45 градусам, так как диагональ квадрата делит угол пополам. Скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AC}\) равно: \(\vec{BC} \cdot \vec{AC} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами. \(\vec{BC} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \cdot \frac{2}{2} = 9\) Ответ: Скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AC}\) равно 9.