Задание №17. Длины векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ равны соответственно 9 и 60, а их скалярное произведение равно 429. Найдите длину вектора $$\vec{c}$$, если $$\vec{c} = 2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$.

Для начала вспомним, что длина вектора $$\vec{c}$$ может быть найдена как $$|\vec{c}| = \sqrt{\vec{c} \cdot \vec{c}}$$. Подставим выражение для $$\vec{c}$$: $$|\vec{c}| = \sqrt{(2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})}$$ Раскроем скалярное произведение: $$|\vec{c}| = \sqrt{4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \frac{4}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \frac{1}{9}(\vec{b} \cdot \vec{b})}$$ Мы знаем, что $$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$ и $$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$$. Также нам дано, что $$|\vec{a}| = 9$$, $$|\vec{b}| = 60$$ и $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 429$$. Подставим известные значения: $$|\vec{c}| = \sqrt{4(9^2) + \frac{4}{3}(429) + \frac{1}{9}(60^2)} = \sqrt{4(81) + \frac{4}{3}(429) + \frac{1}{9}(3600)} = \sqrt{324 + 572 + 400} = \sqrt{1296} = 36$$ Ответ: 36