Задание 168. Докажите, что если точка пересечения медиан $$AM$$ и $$BK$$ треугольника $$ABC$$ является центром описанной окружности, то треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Решение: Пусть $$O$$ - точка пересечения медиан $$AM$$ и $$BK$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$O$$ является центром описанной окружности, то $$OA = OB = OC = R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности. Также, известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $$AO = rac{2}{3}AM$$ и $$BO = rac{2}{3}BK$$. Так как $$OA = OB$$, то $$rac{2}{3}AM = rac{2}{3}BK$$, значит, $$AM = BK$$. В треугольнике $$ABM$$ и $$BAK$$ имеем: $$AM = BK$$, $$AB$$ - общая сторона, и $$BM = rac{1}{2}BC$$, $$AK = rac{1}{2}AC$$. Используем теорему о медиане: $$AM^2 = rac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$$ и $$BK^2 = rac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}$$. Так как $$AM = BK$$, то $$AM^2 = BK^2$$, следовательно, $$\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}$$ $$2AB^2 + 2AC^2 - BC^2 = 2AB^2 + 2BC^2 - AC^2$$ $$3AC^2 = 3BC^2$$ $$AC^2 = BC^2$$ $$AC = BC$$. Таким образом, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, и $$AM$$ и $$BK$$ также являются высотами. Следовательно, $$\triangle ABC$$ также равносторонний. **Ответ:** Доказано, что треугольник $$ABC$$ равносторонний.