Задание 169. На серединном перпендикуляре стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ отмечена такая точка $$O$$, что $$\angle OAC = \angle OCA$$. Докажите, что точка $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Решение: Пусть $$O$$ - точка на серединном перпендикуляре к стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, и $$\angle OAC = \angle OCA$$. Так как $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$, то $$OA = OB$$. Также, по условию, $$\angle OAC = \angle OCA$$, значит, треугольник $$OAC$$ равнобедренный, и $$OA = OC$$. Из равенств $$OA = OB$$ и $$OA = OC$$ следует, что $$OA = OB = OC$$. Это означает, что точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$, а значит, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. **Ответ:** Доказано, что точка $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.