ЗАДАНИЕ 10 (ФИПИ) Решите уравнение (х-2)2 1 - x-2 1 -6 = 0.

Ответ: x = 1/2 и x = 5/2

Решение:

• Приведем уравнение к общему знаменателю:

\[\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0\] \[\frac{1 - (x-2) - 6(x-2)^2}{(x-2)^2} = 0\]

• Умножим обе части уравнения на (x-2)^2 (x не равно 2):

\[1 - (x-2) - 6(x^2 - 4x + 4) = 0\] \[1 - x + 2 - 6x^2 + 24x - 24 = 0\] \[-6x^2 + 23x - 21 = 0\]

• Умножим на -1 для удобства:

\[6x^2 - 23x + 21 = 0\]

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-23)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 21 = 529 - 504 = 25\] \[x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{23 + 5}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}\] \[x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{23 - 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\]

Ответ: x = 7/3 и x = 3/2