ЗАДАНИЕ №1: Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 10 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть (v) – скорость первого автомобиля (в км/ч), (S) – расстояние между пунктами А и В (в км). Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно (\frac{S}{v}). Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью (v - 10) км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 84 км/ч. Время, затраченное вторым автомобилем на первую половину пути, равно (\frac{S/2}{v-10} = \frac{S}{2(v-10)}), а на вторую половину пути – (\frac{S/2}{84} = \frac{S}{168}). Поскольку оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, можно составить уравнение: \[\frac{S}{v} = \frac{S}{2(v-10)} + \frac{S}{168}\] Разделим обе части уравнения на (S) (так как (S
eq 0)): \[\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v-10)} + \frac{1}{168}\] Чтобы решить это уравнение, приведём все дроби к общему знаменателю (168v(v-10)): \[\frac{168(v-10)}{168v(v-10)} = \frac{84v}{168v(v-10)} + \frac{v(v-10)}{168v(v-10)}\] Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (168v(v-10)), тогда: \[168(v-10) = 84v + v(v-10)\] Раскроем скобки и упростим: \[168v - 1680 = 84v + v^2 - 10v\] Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[v^2 - 94v + 1680 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант (D = (-94)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1680 = 8836 - 6720 = 2116). Тогда (\sqrt{D} = 46). Корни уравнения: \[v_1 = \frac{94 + 46}{2} = \frac{140}{2} = 70\] \[v_2 = \frac{94 - 46}{2} = \frac{48}{2} = 24\] По условию задачи, скорость первого автомобиля больше 30 км/ч. Следовательно, (v_2 = 24) не подходит. Таким образом, скорость первого автомобиля равна 70 км/ч. **Ответ: 70**