ЗАДАНИЕ №4. Из городов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Обозначим время, которое велосипедист затратил на путь из B в A, как $$t$$ (в часах). Тогда мотоциклист затратил на путь из A в B $$t - 2$$ часа. Время до встречи составляет 45 минут, или $$\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$ часа. Пусть $$S$$ - расстояние между городами A и B. Скорость велосипедиста равна $$\frac{S}{t}$$, а скорость мотоциклиста равна $$\frac{S}{t-2}$$. К моменту встречи велосипедист проехал расстояние $$\frac{S}{t} \cdot \frac{3}{4}$$, а мотоциклист проехал расстояние $$\frac{S}{t-2} \cdot \frac{3}{4}$$. Вместе они проехали все расстояние $$S$$, поэтому: $$\frac{S}{t} \cdot \frac{3}{4} + \frac{S}{t-2} \cdot \frac{3}{4} = S$$ Разделим обе части на $$S$$: $$\frac{3}{4t} + \frac{3}{4(t-2)} = 1$$ Умножим обе части на $$4t(t-2)$$: $$3(t-2) + 3t = 4t(t-2)$$ $$3t - 6 + 3t = 4t^2 - 8t$$ $$6t - 6 = 4t^2 - 8t$$ $$4t^2 - 14t + 6 = 0$$ Разделим обе части на 2: $$2t^2 - 7t + 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$ $$t_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$t_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Если $$t = \frac{1}{2}$$, то время мотоциклиста было бы $$\frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$$, что невозможно. Значит, $$t = 3$$ часа. Ответ: 3 часа