Задание 4: Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 88°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, OA перпендикулярен касательной в точке A, и OB перпендикулярен касательной в точке B. 2. Пусть точка пересечения касательных - C. Тогда угол ACB равен 88°. 3. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Угол OAC = 90° (OA перпендикулярен AC) и угол OBC = 90° (OB перпендикулярен BC). 4. Тогда угол AOB = 360° - угол OAC - угол OBC - угол ACB = 360° - 90° - 90° - 88° = 360° - 268° = 92°. 5. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы окружности), значит, треугольник AOB - равнобедренный. Тогда угол OAB = угол OBA. 6. Найдем угол OBA. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. Угол OAB + угол OBA + угол AOB = 180°. 2 * угол OBA = 180° - угол AOB = 180° - 92° = 88°. Угол OBA = 88° / 2 = 44°. Ответ: 44°. Решение в MathJax: Пусть точка пересечения касательных \(A\) и \(B\) — точка \(C\). \(OA \perp AC\) и \(OB \perp BC\) как радиусы, проведённые в точки касания. В четырёхугольнике \(OACB\): \(\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ\), \(\angle ACB = 88^\circ\). Сумма углов в четырёхугольнике равна \(360^\circ\), следовательно: \(\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 88^\circ = 92^\circ\). В треугольнике \(AOB\), \(OA = OB\) (радиусы), следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA\). Тогда: \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OBA = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ\) \(\angle OBA = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ\).