Задание 3: На окружности с центром O лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 59°, a ∠OAB = 17°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB - радиусы окружности, то OA = OB, и треугольник OAB - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны, то есть ∠OBA = ∠OAB = 17°. 2. Найдем угол AOB в треугольнике OAB. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 17° - 17° = 180° - 34° = 146°. 3. Найдем угол AOC. Угол ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу. То есть, ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 59° = 118°. 4. Найдем угол BOC. ∠BOC = 360° - ∠AOB - ∠AOC = 360° - 146° - 118° = 360° - 264° = 96°. 5. Рассмотрим треугольник BOC. Так как OB и OC - радиусы окружности, то OB = OC, и треугольник BOC - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны, то есть ∠OBC = ∠OCB. 6. Найдем угол OCB. Сумма углов в треугольнике BOC равна 180°. Значит, ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°. 2 * ∠OCB = 180° - ∠BOC = 180° - 96° = 84°. ∠OCB = 84° / 2 = 42°. Ответ: 42°. В треугольнике \(OAB\), \(OA = OB\), поэтому \(\angle OBA = \angle OAB = 17^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot 17^\circ = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ\). Вписанный угол \(\angle ABC = 59^\circ\) опирается на дугу \(AC\), поэтому центральный угол \(\angle AOC = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ\). \(\angle BOC = 360^\circ - \angle AOB - \angle AOC = 360^\circ - 146^\circ - 118^\circ = 96^\circ\). В треугольнике \(BOC\), \(OB = OC\), следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB\). \(\angle BOC = 96^\circ\), поэтому \(\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ\). \(\angle OCB = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ\).