Задание 3: Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a = 27\) и \(b = 36\). Сначала найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c^2 = 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025\). \(c = \sqrt{2025} = 45\). Теперь найдем площадь треугольника двумя способами: 1. Через катеты: \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 36 = 27 \cdot 18 = 486\). 2. Через гипотенузу и высоту: \(S = \frac{1}{2}ch\), где \(h\) - высота, проведённая к гипотенузе. Приравняем площади: \(\frac{1}{2}ch = 486\). Найдем высоту \(h\): \(h = \frac{2 \cdot 486}{c} = \frac{2 \cdot 486}{45} = \frac{972}{45} = \frac{324}{15} = \frac{108}{5} = 21.6\). **Ответ: 21.6**