Задание 2 (максимальное количество баллов – 1 балл) Решите неравенства методом интервалов: a) 2-x-3x² < 0 (x+6) b) ≥ 0 x(6+2x)

Решим неравенства методом интервалов:

1. a) $$2 - x - 3x^2 < 0$$

   Умножим на -1: $$3x^2 + x - 2 > 0$$

   Решим квадратное уравнение $$3x^2 + x - 2 = 0$$

   $$D = 1 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$

   $$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$

   Тогда $$3(x + 1)(x - \frac{2}{3}) > 0$$, откуда $$(x + 1)(x - \frac{2}{3}) > 0$$

           +                -                +
      --------(-1)--------(2/3)---------
      

   Решением будут интервалы $$x < -1$$ и $$x > \frac{2}{3}$$

2. б) $$\frac{x+6}{x(6+2x)} \geq 0$$

   ОДЗ: $$x
   eq 0, x
   eq -3$$

   $$\frac{x+6}{2x(x+3)} \geq 0$$

   Нули числителя: $$x = -6$$

           +         -          +          -
      --------(-6)----(-3)----(0)---------
      

   Решением будут интервалы $$-6 \leq x < -3$$ и $$x > 0$$

Ответ: a) $$x < -1$$ и $$x > \frac{2}{3}$$; б) $$-6 \leq x < -3$$ и $$x > 0$$