Задание 2. Медиана CD прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе, равна 3, СК - высота ДАВС. Найдите АС и СК, если известно, что ВС = AD.

Ответ: AC = 6, CK = \(\frac{9}{\sqrt{5}}\)

1. Шаг 1: Определение свойств медианы прямоугольного треугольника.

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, если CD = 3, то AB = 2 * CD = 2 * 3 = 6. Также AD = DB = 3.

2. Шаг 2: Использование условия ВС = AD.

   По условию, BC = AD = 3.

3. Шаг 3: Применение теоремы Пифагора к треугольнику ABC.

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 + 3^2 = 6^2\] \[AC^2 + 9 = 36\] \[AC^2 = 27\] \[AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

4. Шаг 4: Нахождение площади треугольника ABC двумя способами.

   Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

   • Через катеты: \(S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\)
   • Через гипотенузу и высоту: \(S = \frac{1}{2}AB \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot CK = 3CK\)

5. Шаг 5: Приравнивание площадей и нахождение CK.

   Приравниваем два выражения для площади:

   \[3CK = \frac{9\sqrt{3}}{2}\] \[CK = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: AC = 6, CK = \(\frac{9}{\sqrt{5}}\)