Задание 17: Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12, а боковое ребро равно $2\sqrt{19}$.

Для начала, вспомним формулу объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$ Где $S_{осн}$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды. В нашем случае, основание - квадрат со стороной 12, значит площадь основания равна: $S_{осн} = 12^2 = 144$ Теперь нужно найти высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Обозначим половину диагонали основания как $d/2$, а боковое ребро как $l$. Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, где $a$ - сторона квадрата. Следовательно, диагональ нашего квадрата равна $12\sqrt{2}$, а половина диагонали равна $6\sqrt{2}$. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем высоту $h$: $h^2 + (d/2)^2 = l^2$ $h^2 + (6\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{19})^2$ $h^2 + 36 \cdot 2 = 4 \cdot 19$ $h^2 + 72 = 76$ $h^2 = 4$ $h = 2$ Теперь, когда мы знаем площадь основания и высоту, мы можем найти объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 2 = 48 \cdot 2 = 96$ Ответ: 96