Задание №8: Найдите острый угол, образованный биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

Привет, ребята! Сейчас мы решим эту задачу. 1. **Прямоугольный треугольник**: В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90^\circ\). Пусть другие два острых угла будут \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда \[\alpha + \beta = 90^\circ\] 2. **Биссектрисы**: Биссектрисы делят углы пополам. Значит, половинки углов будут \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\). 3. **Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами**: В этом треугольнике два угла равны \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\). Обозначим искомый угол за \(\gamma\). Тогда \[\gamma = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\] 4. **Подставляем значение \(\alpha + \beta\)**: \[\gamma = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\] Однако, это тупой угол, образованный биссектрисами. Нам нужен острый угол между биссектрисами. Поскольку смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), острый угол будет: \[180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\] Ответ: \(45^\circ\)