Задание 6: Найдите сторону равностороннего треугольника, если его медиана равна $$14\sqrt{3}$$.

Давай решим эту задачу вместе! В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Медиана, проведённая к любой стороне, также является высотой и биссектрисой. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a$$, а медиана равна $$m = 14\sqrt{3}$$. Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам. Таким образом, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны треугольника и стороной треугольника. В этом прямоугольном треугольнике: * Гипотенуза равна $$a$$ (сторона равностороннего треугольника). * Один катет равен $$m = 14\sqrt{3}$$ (медиана). * Другой катет равен $$\frac{a}{2}$$ (половина стороны треугольника). Используем теорему Пифагора: \[(\frac{a}{2})^2 + m^2 = a^2\] Подставим значение $$m$$: \[(\frac{a}{2})^2 + (14\sqrt{3})^2 = a^2\] \[\frac{a^2}{4} + 14^2 \cdot 3 = a^2\] \[\frac{a^2}{4} + 196 \cdot 3 = a^2\] \[\frac{a^2}{4} + 588 = a^2\] Умножим обе части уравнения на 4: \[a^2 + 2352 = 4a^2\] \[3a^2 = 2352\] \[a^2 = \frac{2352}{3}\] \[a^2 = 784\] \[a = \sqrt{784}\] \[a = 28\] Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна 28.