Задание 1. Найти двугранный угол DABC тетраэдра DABC (рис. 1), если углы BCD и ACD прямые, АВ = BC = AC = 4, BD = 2√7.

Смотри, тут всё просто: нам нужно найти двугранный угол DABC тетраэдра DABC, когда углы BCD и ACD прямые, АВ = BC = AC = 4, BD = 2√7.

Поскольку углы BCD и ACD прямые, можно сделать вывод, что DC перпендикулярно плоскости ABC. Это означает, что DC является высотой тетраэдра DABC, если основанием считать треугольник ABC.

Треугольник ABC равносторонний, так как АВ = BC = AC = 4. Пусть точка H – основание высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. Тогда AH = HC = 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. В нем нам известны BD = 2√7 и BH. BH можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике ABH: BH = √(AB² - AH²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3.

Теперь найдем DH из треугольника BHD: DH = √(BD² - BH²) = √((2√7)² - (2√3)²) = √(28 - 12) = √16 = 4.

Так как DH = 4 и DC перпендикулярно плоскости ABC, то DC = DH = 4.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DHC. В нем DH = 4 и HC = 2. Угол DHC прямой, так как DC перпендикулярно плоскости ABC. Тогда tg угла DCH = DH / HC = 4 / 2 = 2.

Следовательно, угол DCH = arctg(2).

Ответ: arctg(2)