Задание 3. В основании пирамиды (рис. 3) лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Все боковые рёбра пирамиды равны 13. Найдите высоту пирамиды.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника в основании. Пусть катеты равны a = 6 и b = 8. По теореме Пифагора, гипотенуза c равна: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
2. Шаг 2: Центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, следовательно, радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), боковым ребром (l = 13) и радиусом описанной окружности (R = 5). По теореме Пифагора, высота h равна: \[ h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: 12