Задание 12: Объём конуса равен 72. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о подобии конусов и связи их объёмов. 1. Отношение высот: Так как плоскость проведена через середину высоты конуса, отсекаемый конус имеет высоту, равную половине высоты исходного конуса. Следовательно, отношение высот отсекаемого конуса к исходному конусу равно $\frac{1}{2}$. 2. Подобие конусов: Отсекаемый конус подобен исходному конусу с коэффициентом подобия, равным отношению их высот, то есть $k = \frac{1}{2}$. 3. Отношение объёмов: Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. $\frac{V_{\text{отсекаемого}}}{V_{\text{исходного}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ 4. Найдем объем отсекаемого конуса: Используя отношение объёмов и зная, что объём исходного конуса равен 72, найдем объём отсекаемого конуса. $V_{\text{отсекаемого}} = \frac{1}{8} \cdot V_{\text{исходного}} = \frac{1}{8} \cdot 72 = 9$ Таким образом, объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 9. Ответ: 9