Задание 11: В окружности с центром O проведён диаметр AB и взята точка C так, что угол COB равен 120° и AC = 23. Найдите диаметр окружности.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания геометрии, в частности, свойства углов и сторон вписанных и центральных углов окружности, а также теорема синусов. 1. Найдем угол CAB: Угол COB – центральный угол, опирающийся на дугу CB. Вписанный угол CAB опирается на ту же дугу CB, поэтому он равен половине центрального угла COB. $\angle CAB = \frac{1}{2} \angle COB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$ 2. Найдем угол ACB: Так как AB – диаметр, то угол ACB – вписанный угол, опирающийся на диаметр, а значит, он прямой. $\angle ACB = 90^\circ$ 3. Найдем угол ABC: Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. $\angle ABC = 180^\circ - \angle CAB - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ 4. Применим теорему синусов к треугольнику ABC: Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов треугольника. $\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$ Подставим известные значения: $\frac{23}{\sin(30^\circ)} = \frac{AB}{\sin(90^\circ)}$ Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(90^\circ) = 1$, получим: $\frac{23}{\frac{1}{2}} = \frac{AB}{1}$ $AB = 23 \cdot 2 = 46$ Таким образом, диаметр окружности AB равен 46. Ответ: 46