Задание 58.5. Период полураспада некоторого химического элемента равен Т. Определите долю радиоактивных ядер этого элемента, распавшихся за промежуток времени t=T/2.

Пусть N₀ - начальное количество ядер, N(t) - количество ядер, оставшихся после времени t. Закон радиоактивного распада: \[N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\] где λ - постоянная распада, связанная с периодом полураспада T как: \[\lambda = \frac{ln(2)}{T}\]

В нашем случае t = T/2, тогда: \[N(T/2) = N_0 e^{-\lambda (T/2)} = N_0 e^{-\frac{ln(2)}{T} (T/2)} = N_0 e^{-\frac{ln(2)}{2}}\]

Вычисляем e^-ln(2)/2: \[e^{-\frac{ln(2)}{2}} = e^{ln(2^{-1/2})} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\]

Таким образом, N(T/2) ≈ 0.707N₀. Это количество ядер, которые остались.

Чтобы найти долю распавшихся ядер, нужно из начального количества вычесть оставшееся и разделить на начальное количество: \[\frac{N_0 - N(T/2)}{N_0} = \frac{N_0 - 0.707N_0}{N_0} = 1 - 0.707 = 0.293\]

Доля распавшихся ядер составляет примерно 0.293, или 29.3%.

Ответ: За время T/2 распадется примерно 29.3% радиоактивных ядер этого элемента.