Задание 5: Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14 и CF:DF = 2:5.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC – основания. Прямая EF параллельна основаниям и пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Известно, что AD = 42, BC = 14 и CF:DF = 2:5. Требуется найти длину отрезка EF. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках. Пусть CF = 2x, тогда DF = 5x. Следовательно, CD = CF + DF = 2x + 5x = 7x. Так как EF параллельна основаниям AD и BC, можно воспользоваться свойством трапеции, где отрезок, параллельный основаниям, выражается через полусумму оснований и отношение отрезков боковой стороны. $$EF = \frac{BC \cdot DF + AD \cdot CF}{CD} = \frac{14 \cdot 5x + 42 \cdot 2x}{7x}$$ $$EF = \frac{70x + 84x}{7x} = \frac{154x}{7x} = 22$$ Таким образом, длина отрезка EF равна 22. **Ответ: EF = 22**